李永乐线性代数基础课概念及公式

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行列式

  • $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
  • $\begin{aligned}|A|&=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}\text{(按行展开)}\\ &=a_{1i}+A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+\dots +a_{ni}A_{ni} \text{(按列展开)} \end{aligned}$
  • 某一行的所有元素与另一行对应元素的代数余子式乘积和为$0$
  • 如果$A,B$是$n$阶矩阵,则$|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$
  • 上(下) 三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
    $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\0 & a_{22} & \dots & a_{2n}\\0 & 0& \dots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & 0 & \dots & 0 \\a_{21} & a_{22} & \dots & 0\\a_{n 1} & a_{n 2}& \dots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$
  1. 关于副对角线的行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{m 1}\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n 1}$
  • 两个特殊的拉普拉斯展开式
    如果 $A$ 和 $B$ 分别是 $m $阶和 $n$ 阶矩阵,则

$\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ * & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|,\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & *\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}* & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|$

  • 范德蒙行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant j<i \leqslant n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$
  • 克拉默法则(常用于证明题)

设系数行列式为$D$

    • 对于$n$元齐次线性方程组

      • <span style="color:red">$D\neq 0 \Leftrightarrow$方程组只有零解</span>
      • $D=0\Leftrightarrow$方程组除零解外还有非零解
    • 对于$n$元非齐次线性方程组

      • $D\neq 0\Leftrightarrow$方程组有唯一解,且$x_i=\frac{D_i}{D}(1\leq i\leq n)$
      • $D=0\Leftrightarrow$方程组无解或有无数解
    • 抽象$n$阶方阵行列式公式

      • 若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵,则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
      • 若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵

        • 若$A^{-1}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵,则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{-1}$
        • $k\boldsymbol{|A|}=k^{n}\boldsymbol{|A|}$
      • 设 $A$ 是 $m$ 阶矩阵,$B$ 是 $n$ 阶矩阵

      $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{D} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|$
      $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{D} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{nm}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|$

      • 一般情况下,$|A+B|\neq |A|+|B|$,$|A-B|\neq |A|-|B|$,$|kA|\neq k|A|$
      • 设$\boldsymbol{A,B}$都是$n$阶矩阵,则$\boldsymbol{|AB|=|A||B|}$

    矩阵

    对角矩阵

    $\begin{aligned}&\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & 0 & 0 \\0 & a_{2} & 0 \\0 & 0 & a_{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & 0 & 0 \\0 & b_{2} & 0 \\0 & 0 & b_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} b_{1} & 0 & 0 \\0 & a_{2} b_{2} & 0 \\0 & 0 & a_{3} b_{3}\end{array}\right]\\&(1) \boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\Lambda}_{2}=\boldsymbol{\Lambda}_{2} \boldsymbol{\Lambda}_{1}\\&(2)\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & & \\& a_{2} & \\& & a_{3}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}^{n} & 0 & 0 \\0 & a_{2}^{n} & 0 \\0 & 0 & a_{3}^{n}\end{array}\right]\\&(3)\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & 0 & 0 \\0 & a_{2} & 0 \\0 & 0 & a_{3}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{a_{1}} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{a_{2}} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{a_{3}}\end{array}\right]\end{aligned}$

    转置矩阵

    • 定义:将$m\times n$型矩阵$A=[a_{ij}]_{m\times n}$的行列互换得到的$n\times m$矩阵$[a_{ji}]_{n\times m}$称为$A$的转置矩阵,记为$a^{T}$
    • 运算法则:

    ​ $\begin{array}{l}(A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{T} ;\\(k A)^{\mathrm{T}}=k A^{\mathrm{T}} \\(A B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} ;\\\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=A\end{array}$

    • $\alpha,\beta$为$n$维列向量

      • $\alpha\beta^{\mathrm{T}},\beta\alpha^{\mathrm{T}},\alpha\alpha^{\mathrm{T}}$——矩阵

      $\beta^{\mathrm{T}}\alpha,\alpha^{\mathrm{T}}\beta,\alpha^{\mathrm{T}}\beta $ ——数

      • $\alpha\beta^{\mathrm{T}},\beta\alpha^{\mathrm{T}}$互为转置矩阵
      • $\alpha^{\mathrm{T}}\beta=\beta^{\mathrm{T}}\alpha=\alpha\beta^{\mathrm{T}}\text{的迹}$
      • $\alpha\alpha^{\mathrm{T}}$是对称矩阵
      • $\alpha^{\mathrm{T}}\alpha$是$\alpha$中数字的平方和
    • 常见矩阵

      • 对称阵:满足 $A^{\mathrm{T}}=A,$ 即 $a_{i j}=a_{j i}$ 的矩阵称为对称阵
      • 反对称阵:满足 $A^{\mathrm{T}}=-A,$ 即 $a_{i j}=-a_{j i}, a_{i i}=0$ 的矩阵称为反对称阵
      • 对角阵:非对角元素都是$0$的矩阵(即 $\forall i \neq j$ 恒有 $a_{i j}=0$ ) 称为对角阵,记成 $\boldsymbol{\Lambda}$
        $\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]$

    伴随矩阵

    • 矩阵$A$的伴随矩阵为$A^{*}$
    • $AA^{*}=A^{*}A=|A|E$
    • $\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}=\frac{1}{|A|} A \quad(|A| \neq 0)$
    • $(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*}$
    • $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$
    • $\left(A^{*}\right)^{\mathrm{T}}=\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{*}$
    • $|A^{*}|=|A|^{n-1}$
    • $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A \quad(n \geqslant 2)$
    • 二阶矩阵的伴随矩阵:主对角线互换,副对角线变号
    • $\mathrm{r}(A^{*})=\begin{cases}n,\mathrm{r}(A)=n\\1,\mathrm{r}(A)=n-1\\0,\mathrm{r}(A)<n-1\end{cases}$

    逆矩阵

    • 逆矩阵的性质

      • $A$可逆,且$k\neq 0$,则$kA$可逆,$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
      • 矩阵$\boldsymbol{A}$可逆$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$可以表示成一些初等矩阵的乘积
    • 若$A,B$均可逆,则$AB$也可逆,$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$;推广:$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$
    • 若$A$可逆,则$(A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}$
    • $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
    • 求逆矩阵的方法

      • 定义法
      • 伴随矩阵
      • 初等行变换
      • 分块矩阵

      设 $B,C$都是可逆矩阵,则

      $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1}\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1} \\\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

    • 若求$\boldsymbol{A^{-1}B}$,将矩阵写成$[\boldsymbol{A:B}]$的形式,然后进行列变换,把$\boldsymbol{A}$变成单位矩阵,$\boldsymbol{B}$矩阵也跟着做相应的变换,变换后的$\boldsymbol{B}$矩阵即为$\boldsymbol{A^{-1}B}$

    $[\boldsymbol{A:B}]\xrightarrow[]{行变换} [\boldsymbol{E:A^{-1}B}]$

    • 二阶矩阵$\boldsymbol{A}$的逆矩阵:<font color=red>主对角线元素互换,副对角线元素变号,整体除以$|\boldsymbol{A}|$</font>

    初等矩阵

    单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵

    • 左乘初等矩阵,相当于和初等矩阵做相同的行变换

    右乘初等矩阵,相当于和初等矩阵做相同的列变换

    • 分类(以三阶为例)

      • 倍乘初等矩阵,记做$\boldsymbol{E}(i(k))$,如:$\boldsymbol{E}(2(k))=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & k & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

      $\boldsymbol{E}(2(k))$ 表示由单位阵 $E$ 的第二行 (或第二列)乘$k(k \neq 0)$ 倍得到的矩阵.

      • 互换初等矩阵,记做$\boldsymbol{E}(i,j)$,如:$\boldsymbol{E}(1,2)=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

      $\boldsymbol{E}(1,2)$ 表示由单位阵 $E$ 的第一,二行(或一,二列)互换得到的矩阵.

      • 倍加初等矩阵,记做$\boldsymbol{E}(ij(k))$,如:$\boldsymbol{E}(13(k))=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\k & 0 & 1\end{array}\right]$

      $\boldsymbol{E}(13(k))$ 表示由单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第一行的 $k$ 倍加到第三行得到的矩阵。当看成列变换时,应是 $E$ 的第三列的 k 倍加到第一列得到的矩阵。

    • 初等矩阵的逆矩阵

    初等矩阵均可逆,其逆矩阵是同一类型的初等矩阵

    • 倍加初等矩阵的逆矩阵,把原倍加矩阵的倍数变成相反数
    • 互换初等矩阵的逆矩阵是它本身
    • 倍乘初等矩阵的逆矩阵,是把原倍乘初等矩阵的倍数换成倒数
    • 当$\boldsymbol{A}$经过行变换得到$\boldsymbol{B}$时,$\boldsymbol{E}$在同样的行变换下得到$P$

    即:对$\boldsymbol{PA=B}$,$[\boldsymbol {A:E}] \xrightarrow[]{行变换} [\boldsymbol{B:P}]$

    • 行阶梯矩阵
    • 行最简矩阵
    • 矩阵等价

      • 定义:矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$,则称 $A$ 与 $B$ 等价,记成 $A \cong B .$ 若 $A \cong\left[\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right]$,则后者称为 $A$ 的等价标准形. ($A$的等价标准形是与$A$等价的所有矩阵中的最简矩阵).
      • $A,B$等价$\Leftrightarrow \mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(B)$

    分块矩阵

    • 常见分块方法:

      • 分成四块,常用于解决$AB,A^n,A^{-1}$的问题
      • 按列分块,常用于解决方程组的解、向量、秩
      • 按行分块,常用于解决向量、秩
    • 运算

      • $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_{1} & \boldsymbol{A}_{2} \\ \boldsymbol{A}_{3} & \boldsymbol{A}_{4}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}_{1} & \boldsymbol{B}_{2} \\ \boldsymbol{B}_{3} & \boldsymbol{B}_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{B}_{1} & \boldsymbol{A}_{2}+\boldsymbol{B}_{2} \\ \boldsymbol{A}_{3}+\boldsymbol{B}_{3} & \boldsymbol{A}_{4}+\boldsymbol{B}_{4}\end{array}\right]$
      • $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y} \\ \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A X}+\boldsymbol{B Z} & \boldsymbol{A Y}+\boldsymbol{B W} \\ \boldsymbol{C X}+\boldsymbol{D} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{C Y}+\boldsymbol{D} W\end{array}\right]$
      • $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{D}^{T}\end{array}\right]$
      • 若 $B,C $分别是 $m$ 阶与 $s$ 阶矩阵,则

      $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O} \\\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{n}\end{array}\right]$

      • 若 $B,C$分别是 $m$ 阶与 $n$ 阶可逆矩阵,则

      $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1}\end{array}\right]\\\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1} \\ \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

    向量

    • 考点:①线性表示 ②线性相关、无关 ③秩(向量组、矩阵)
    • 定义
    • 向量组

    方程组的解的一些结论

    • $Ax=O$有非零解$\Leftrightarrow \mathrm{r}(A)<n$,特别地,$A$为$n$阶方阵,$Ax=O$有非零解$\Leftrightarrow |A|=0$
    • 如果$\mathrm{r}(A)=r<n$,则$Ax=O$有$n-r$个线性无关的解$(\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{n-r})$,且$Ax=O$的任一解$\eta$一定能由$\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{n-r}$线性表出
    • $Ax=b$有无穷多解$\Leftrightarrow \mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(\bar{A})<n$
    • 解的结构:如果$\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(\bar{A})=r<n$,则$Ax=b$的通解为:$\alpha+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_{n-r}\eta_{n-r}$,其中,$\alpha$为$Ax=b$的特解,$\eta_1,\eta_2\dots\eta_{n-r}$为$Ax=O$的基础解系

    线性表出、线性相关

    • 定义

      • 线性表出、线性组合
      • 线性相关、线性无关
    • 系数问题

      • 线性表出系数可以全为$0$
      • 线性相关系数不能全为$0$
    • 向量组

    定义:$\begin{cases}向量组\\部分组、整体组\\延伸组(\tilde{a_i)}、缩短组\end{cases}$

    ①$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$;②$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$

    • 如果①中的每个$\alpha_i$都可由$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$线性表示,则称向量组①可由向量组②线性表示
    • 如果向量组①和②可互相线性表示,则称向量组①和②等价

    定理:如果向量组①可由向量组②线性表出,则$\mathrm{r}(\text{①})\leq \mathrm{r}(②)$

    推论:如果向量组①和向量组②等价,则$\mathrm{r}(\text{①})= \mathrm{r}(②)$

    定理即推论

    • 定理一

    向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性表出

    $\Leftrightarrow$存在实数$k_1,k_2,\dots,k_m$,使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_m\alpha_m=\beta$

    $\Leftrightarrow$方程组$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{m}\end{array}\right]=\boldsymbol{\beta}$有解

    $\Leftrightarrow\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$

    • 定理二

    向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\left(\boldsymbol{\alpha}_{j}=\left(a_{1 j}, a_{2 j}, \cdots, a_{n j}\right)^{\mathrm{T}}, j=1,2, \cdots, m\right)$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 以$\boldsymbol{\alpha}_{j}$ 为列向量的齐次线性方程组$x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}$有非零解

    • <span style="color:red">推论$1$:$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性相关$\Leftrightarrow$行列式 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|=0$</span>
    • <span style="color:red">推论$2$:任何 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关</span>
    • 推论$3$:任何部分组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 相关 $\Rightarrow$ 整体组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \cdots, \alpha_{s}$ 相关,
      整体组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \cdots, \boldsymbol{\alpha},$ 无关 $\Rightarrow$ 任何部分组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 无关,反之均不成立
    • 推论$4$:$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性无关 $\Rightarrow$ 则其延伸组 $\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{2}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{m}$ 线性无关,
      $\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \tilde{\alpha}_{2}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{m}$ 线性相关 $\Rightarrow$ 则其缩短组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性相关,反之均不成立
    • 定理三

    向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}(s \geqslant 2)$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ 可以由其余向量线性表出。

    • 定理四

    若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关,而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性表出,且表出法唯一.

    • 定理五

    设有两个向量组($\mathrm{I}$) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s},(\mathbb{I}) \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t}$

    (1) 若 $\boldsymbol{\beta}_{i}(i=1,2, \cdots, t)$均可由($\mathrm{I}$)线性表出,且 $t>s,$ 则 $(\mathbb{I}) \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{t}$ 线性相关.
    (2) <font color=red>若 $\boldsymbol{\beta}_{i}(i=1,2, \cdots, t)$均可由($\mathrm{I}$)​线性表出,且 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{i}$ 线性无关,则 $t \leqslant s$</font>

    • 定理六

    ①$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$;②$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$

    如果向量组①可由向量组②线性表出,则$\mathrm{r}(\text{①})\leq \mathrm{r}(②)$

    推论:如果向量组①和向量组②等价,则$\mathrm{r}(\text{①})= \mathrm{r}(②)$

    证明线性无关

    当$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s$时,必有$k_1=k_2=\dots=k_s=0$,则向量组$\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_s$线性无关

    <span style="color:red">证明向量线性无关时,转换成证明$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_s\alpha_s$时,$k_1,k_2,\dots,k_2=0$</span>

    向量组的秩

    极大线性无关组
    • 概念:在向量组$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_s}$中,如果存在$r$个向量$\boldsymbol{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\dots,\alpha_{i_r}}$线性无关,再添加任一个$\boldsymbol{\alpha_j}(j=1,2\dots,s)$,向量组$\boldsymbol{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\dots,\alpha_{i_r},\alpha_j}$就线性相关,则称$\boldsymbol{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\dots,\alpha_{i_r}}$是向量不组$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_s}$的一个极大线性无关组
    • 如果$\boldsymbol{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\dots,\alpha_{i_r}}$与$\boldsymbol{\alpha_{j_1},\alpha_{j_2}\dots,\alpha_{j_t}}$都是向量组$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_s}$的极大线性无关组,则$r=t$
    向量组的秩
    • 向量组$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_s}$的极大线性无关组中所含向量的个数$r$称为向量组的秩,记为$r(\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_s})=r$
    • 只有零向量的向量组,规定其秩为$0$
    • $A$矩阵经过行变换得到$B$矩阵,则称$A$与$B$行相等

    $A$的列向量与$B$的列向量

    • 有相同的线性相关性
    • 有相同的线性表示
    • 找极大线性无关组,将矩阵化为行最简形,找每一行第一个非$0$数所在的列

    矩阵的秩

    • $k$阶子式
    • 矩阵的秩

    $A$是一个$m\times n$的矩阵,如果<font color=red>存在$r$阶子式的行列式$D=0$,且所有$r+1$阶子式(如果存在)的行列式全为$0$</font>,则称矩阵$A$的秩为$r$,记做:$r(A)=A$

    • 定理七:经初等行变换,矩阵的秩不变
    • 规定零矩阵的秩为$0$
    • 定理八(三秩相等):$r(A)=$$A$的列向量组的秩$=A$的行向量组的秩
    • ${\color{red}r(\boldsymbol{A^{*}})=\begin{cases} n,\qquad r(\boldsymbol{A})=n \\ 1,\qquad r(\boldsymbol{A})=n-1\\ 0,\qquad r(\boldsymbol{A})\leq n-1\end{cases}}$
    • 公式:

      1. $r(A^{\mathrm{T}})=r(A)$
      2. $r(kA)=r(A),k\neq 0$

      $r(0E-A)=r(A)$,$r(A-E)=r(E-A)$

      1. $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
      2. $r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}$

         若$A$可逆,$r(AB)=r(BA)=r(B)$(提高阶段掌握证明)
        
      3. $r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$(提高阶段掌握证明)
      4. $A,B$分别为$m\times n,n\times s$的矩阵,且$AB=0$,则$r(A)+r(B)\leq n$
      5. $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=r(A)+r(B)$
      6. 若$A\sim B$,则$r(A)=r(B),r(a+kE)=r(B+kE)$

    向量的内积

    • 定义

    设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\mathrm{T}}$,令$(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$

    则称$( \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积

    • 若$( \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0$,称$\boldsymbol{\alpha}$与$\boldsymbol{\beta}$正交
    • $( \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2$

    称$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}$为向量$\boldsymbol{\alpha}$的长度,记为$||\boldsymbol{\alpha}||$

    • 性质

      • $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})$
      • $\lambda(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(\lambda \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha}, \lambda \boldsymbol{\beta})$
      • $(\boldsymbol{\alpha+\beta, \gamma})=(\boldsymbol{\alpha, \gamma)+(\beta, \gamma})$
      • $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) \geqslant 0$,当且仅当$\boldsymbol{\alpha}=0$时,等号成立

    施密特正交化

    设向量组$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$线性无关,标准正交化(正交规范化)方法如下:

    1. 正交化

    $\begin{array}{l}\boldsymbol{\beta_1}=\boldsymbol{\alpha_1}\\\boldsymbol{\beta_2}=\boldsymbol{\alpha_2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_2,\beta_1})}{(\boldsymbol{\beta_1,\beta_1})}\boldsymbol{\beta_1}\\\boldsymbol{\beta_3}=\boldsymbol{\alpha_3}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_3,\beta_1})}{(\boldsymbol{\beta_1,\beta_1})}\boldsymbol{\beta_1}-\frac{(\boldsymbol{\alpha_3,\beta_2})}{(\boldsymbol{\beta_2,\beta_2})}\boldsymbol{\beta_2}\end{array}$

    则 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 是正交向量组

    1. 单位化

    $\boldsymbol{\eta}_{1}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{1}}{\left|\boldsymbol{\beta}_{1}\right|}, \boldsymbol{\eta}_{2}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{2}}{\left|\boldsymbol{\beta}_{2}\right|}, \boldsymbol{\eta}_{3}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{3}}{\left|\boldsymbol{\beta}_{3}\right|}$

    则$\boldsymbol{\eta_1,\eta_2,\eta_3}$是标准正交向量组

    正交矩阵

    设$A$是一个$n$阶矩阵,若$AA^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}A=E$,称$A$是正交矩阵

    • 定理九

    $A$是正交矩阵$\begin{array}{l}\Leftrightarrow A^{\mathrm{T}}=A^{-1}\\\Leftrightarrow A的列向量都是单位向量,且两两正交\end{array}$

    • 定理十

    $A$是正交矩阵$\Rightarrow |A|=\pm1$

    线性方程组(重点)

    齐次方程组

    任一齐次方程组$\boldsymbol{Ax}=\mathbf{0}$都有零解

    • 基础解系:齐次方程组解向量的最大无关组

    如果 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解 $,$ 而且满足:

    (1) $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 线性无关
    (2) $\boldsymbol{A x=0}$ 的任一个解 $\boldsymbol{\eta}$ 都可由 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 线性表出

    则称 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是 $\boldsymbol{A x=0}$ 的一个基础解系

    <font color=red>$t=n-r(A)$</font>

    • 通解:若$\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$为$\boldsymbol{Ax=0}$的基础解系,则$\boldsymbol{Ax=0}$的通解为:

    $k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t$

    • 定义一:$A_{m\times n}x=0$有非零解$\Leftrightarrow r(A)<n\\\Leftrightarrow A\text{的列向量线性相关}$

    推论:

    1. 当$m<n$时,$\boldsymbol{Ax=0}$必有非零解
    2. 当$m=n$时,$\boldsymbol{Ax=0}$有非零解$\Leftrightarrow |A|=0$
    • 解的性质

    如果 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是齐次方程组 $A x=0$ 的解 $,$ 则对任意常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}$,$k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+k_{t} \boldsymbol{\eta}_{i}$仍为该齐次方程组的解

    <font color=red>求基础解系可以使用1 0,0 1的方法,也可以使用t,u,v的方法</font>

    非齐次方程组

    解的判定

    • $\boldsymbol{Ax=b}$有解$\Leftrightarrow r(A)=r(\bar{A})\\\Leftrightarrow b\text{可由}A\text{的列向量线性表出}$

    有唯一解:$r(A)=r(\bar{A})=n$

    有无穷多解:$r(A)=r(\bar{A})<n$

    • $\boldsymbol{Ax=b}$无解$\Leftrightarrow r(A)+1=r(\bar{A})$

    解的结构

    $\boldsymbol{Ax=b}$的特解$+\boldsymbol{Ax=0}$的通解

    解的性质

    • $\alpha_1,\alpha_2$是$\boldsymbol{Ax=b}$的解,则$\alpha_1-\alpha_2$是$\boldsymbol{Ax=0}$的解
    • $\alpha$是$\boldsymbol{Ax=b}$的解,$\eta$是$\boldsymbol{Ax=0}$的解,则$\alpha+\eta$是$\boldsymbol{Ax=b}$的解

    <font color=red>遇到有未知数的方程组,在消元的时候,尽量不要增加未知数的个数</font>

    方程组的应用

    特征值和特征向量<font color=red>(重点,综合性强)</font>

    特征值、特征向量

    • 定义

      • 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵,如果存在一个数 $\lambda$ 及非零的 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$,使得$A \alpha=\lambda \alpha$成立,则称 $\lambda$ 是矩阵$A$的一个特征值,称非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是矩阵A 属于特征值$\lambda$的一个特征向量
      • 设 $A=\left[a_{i j}\right]$ 为一个 $n$ 阶矩阵,则行列式$|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$称为矩阵$A$的特征多项式,| $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} |=0$ 称为 $A$ 的特征方程
    • 由定义 $A \alpha=\lambda \alpha, \alpha \neq 0,$ 即 $(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}, \boldsymbol{\alpha} \neq 0$ 可见<font color=red>特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是齐次方程组$(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的非零解</font>

    求特征值、特征向量的方法

    方法一:使用定义$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\neq 0$

    方法二:令特征多项式为$0$,$|\lambda E-A|=0$得到特征值;$(\lambda E-A)x=0$求得基础解系,通过基础解系获得通解

    定理

    • 如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{t},$ 都是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量,那么当 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+k_t\boldsymbol{\alpha}_{t}$非零时,$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\dots+k_t\boldsymbol{\alpha}_{t}$仍是矩阵$A$属于特征值$\lambda$的特征向量
    • 如果 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}$ 是矩阵 $A$的互不相同的特征值, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 分别是与之对 应的特征向量,则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关
    • 设 A 是 $n$ 阶矩阵, $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值,则

      • $\sum \lambda_{i}=\sum a_{i i}$
      • $|A|=\prod \lambda_{i}$
    • $(A+kE)\alpha=(\lambda+k)\alpha$
    • $A^{n}\alpha=\lambda^{n}\alpha$

    相似矩阵

    定义

    • 设$A,B$都是$n$阶矩阵,如果存在可逆矩阵$P$,使$P^{-1}AP=B$,就称矩阵$B$是$A$的相似矩阵,$A$相似于$B$,记做$A\sim B$
    • 若 $A \sim \boldsymbol{\Lambda},$ 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角阵 $,$ 则称 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化。 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的相似标准形.

    两矩阵相似的必要条件

    若$A\sim B$

    • 特征多项式相同,即$|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$
    • $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$
    • $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$有相同的特征值
    • $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}$
    • $\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i i}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}$

    定理

    • $A\sim \boldsymbol{\Lambda} \Leftrightarrow A$有$n$个线性无关的特征向量

      • 推论:若$A$有$n$个不同的特征值,则$A\sim \boldsymbol{\Lambda}$
    • $n$阶矩阵$A$可相似对角化的充分必要条件是$A$的每个特征值中,线性相关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。

    即:

    • $A\sim \Lambda \Leftrightarrow$ 秩 $r\left(\lambda_{i} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)=n-n_{i}, \lambda_{i}$ 为 $n_{i}$ 重特征值
    • $A\sim \Lambda \Leftrightarrow \lambda _i$是$A$的$n_i$重特征值,则$\lambda_i$有$n_i$个线性无关的特征向量

    相似对角化的解题步骤

    求可逆矩阵$\boldsymbol{P}$使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$

    1. 求出矩阵$A$(设为三阶) 的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$(可以有重根)
    2. 求出线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$
    3. 构造可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right),$ 则有 $\boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3}\end{array}\right]$

    注意:由 $A \boldsymbol{\alpha}_{1}=\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}, A \boldsymbol{\alpha}_{2}=\lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, A \boldsymbol{\alpha}_{3}=\lambda_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}\\\Rightarrow A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\lambda_{1} \alpha_{1}, \lambda_{2} \alpha_{2}, \lambda_{3} \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & \\& \lambda_{2} & \\& & \lambda_{3}\end{array}\right]$

    即:$A P=P \Lambda, P^{-1} A P=\Lambda$

    相似对角化的应用

    求$A^n$:

    $P^{-1}AP=\Lambda \Rightarrow P^{-1}A^nP=\Lambda ^n$

    $A^n=PA^nP^{-1}$

    $\left[\begin{array}{ccc}a_1\\& a_2\\& &a_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a_1}^n\\& {a_2}^n\\& &{a_3}^n \end{array}\right]$

    实对称矩阵

    定理

    • 实对称矩阵必可相似对角化
    • 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交
    • 设$A$为$n$阶实对称矩阵 ,则必存在正交阵 $Q$,使得 $Q^{-1} A Q=Q^{\mathrm{T}} A Q=\Lambda$

    “实对称矩阵用正交矩阵相似对角化”解题步骤

    1. 求出矩阵 A(设为三阶) 的特征值 $\lambda_{1},\lambda _{2}, \lambda_{3}$
    2. 求出相应的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$
    3. 改造特征向量

      1. 如果特征值不同,特征向量已正交,只需单位化,记为 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$
      2. 如果特征值有重根,要先判断特征向量是否已正交。 若已正交则只需单位化;若不正交则要正交化处理,记为 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$
    4. 把上述特征向量 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ 构成正交矩阵 $Q=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$

    即有 $Q^{-1} A Q=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} \\ & & \lambda_{3}\end{array}\right]$

    二次型

    二次型及其标准型

    定义

    $n$个变量的一个二次齐次多项式:

    $\begin{array}{r}f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+2 a_{13} x_{1} x_{3}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n}\\+a_{22} x_{2}^{2}+2 a_{23} x_{2} x_{3}+\cdots +2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\+\cdots+a_{m} x_{n}^{2}\end{array}$

    称为 $n$ 个变量的二次型,系数均为实数时,称为 $n$ 元实二次型

    写成矩阵的形式:

    $\begin{aligned}f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \\&=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right]=x^{T} A x\end{aligned}$

    其中 $A$ 是对称矩阵,称为二次型$ f$ 的对应矩阵。

    当 $A$ 是对称阵时,二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 和 $A$一一对应

    • 标准型

    若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 只有平方项,没有混合项(即混合项的系数全为零)

    即:$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{\mathrm{T}} A x=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2}$

    则称二次型为标准形(又称平方和)

    • 规范型

    在二次型的标准形中,若平方项的系数 $a_{i}$ 只是 $1,-1,0$

    即:$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{\mathrm{T}} A x=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots \cdots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots-x_{p+q}^{2}$

    • 正惯性指数、负惯性指数

    在二次型 $x^{\mathrm{T}} A x$ 的标准形中,正平方项的个数 $p$ 称为二次型的正惯性指数,负平方项的个数 $q$ 称为二次型的负惯性指数

    • 二次型的秩

    二次型$x^{\mathrm{T}} A x$矩阵$A$的秩称为二次型的秩

    • 合同

    设 $A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵,若存在可逆阵 $C,$ 使得 $C^{\mathrm{T}} A C=B$,则称 $A$ 合同于$\boldsymbol{B},$ 记成 $A \simeq B$

    • 坐标变换

    对于三元二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$
    如果$\qquad \begin{cases}x_{1}=c_{11} y_{1}+c_{12} y_{2}+c_{13} y_{3} & \\x_{2}=c_{21} y_{1}+c_{22} y_{2}+c_{23} y_{3} &(*) \\x_{3}=c_{31} y_{1}+c_{32} y_{2}+c_{33} y_{3} & \end{cases}$

    满足$|\boldsymbol{C}|=\left|\begin{array}{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} \\c_{21} & c_{22} & c_{23} \\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right| \neq 0$

    则称 $(*)$ 是由 $x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 到 $y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 的坐标变换

    用矩阵描述即 : $x=C y$

    定理

    • 对任意一个 $n$ 元二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{\mathrm{T}} A x,$ 必存在正交变换 $x=Q y,$ 其 中 $Q $是正交阵,化二次型为标准形. 即
      $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x^{\mathrm{T}} A x \stackrel{x=Q y}{=} y^{\mathrm{T}} Q^{\mathrm{T}} A Q y=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} y_{n}^{2}$

    其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值.

    • 可以利用求特征值来确定矩阵$\boldsymbol{A}$及其合同矩阵的正、负惯性指数
    • 对任意一个$n$阶实对称矩阵$\boldsymbol{A}$,一定存在可逆矩阵$\boldsymbol{C}$,使得$\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{AC=\Lambda}$
    • (惯性定理)对一个二次型$\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Ax}$经坐标变化为标准型,其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的

    利用配方法把二次型化为标准型

    1. 找出所有包含$x_1$的项,合并在一起,进行配方,写成平方的形式
    2. 找出所有包含$x_2$的项,合并,配方
    3. $x_3,x_4$同理

    利用特征值把二次型化为标准型

    1. 用特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E-A}|=0$,求出$\boldsymbol{A}$的特征值
    2. 根据特征值得出特征向量
    3. 所求出的特征向量是否正交
    4. 如果两两正交,只需单位化。否则将不整交的特征向量进行单位正交化。(利用施密特正交化)
    5. $\boldsymbol{\Lambda}$由$\boldsymbol{A}$的特征值组成,变换矩阵有特征向量组成。特征向量与特征值所在的列一一对应。

    正定二次型

    定义:对于所有的非零向量$\boldsymbol{x}$,二次型$f$恒大于$0$,称二次型$f$为正定二次型。

    $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{Ax}>0$

    定理

    • 可逆矩阵变换不改变二次型的正定性
    • $f$正定的充要条件

    $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{Ax}$正定:

    • $\boldsymbol{A}$的正惯性指数$p=n$
    • 存在可逆阵$\boldsymbol{C}$,使得$\boldsymbol{C}^{T}\boldsymbol{AC=E}$。($\boldsymbol{A\simeq E}$)
    • $\boldsymbol{A=D}^{T}\boldsymbol{D}$
    • $\boldsymbol{A}$的全部特征值大于$0$
    • $\boldsymbol{A}$的全部顺序主子式大于$0$
    • $f=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{Ax}$正定的必要条件

      • $\boldsymbol{A}$的主对角线元素$a_{ii}>0$
      • $\boldsymbol{A}$的行列式$|\boldsymbol{A}|>0$

    判断二次型是否正定的方法

    1. 看顺序主子式是否全大于$0$
    2. 求出特征值,判断特征值是否都大于$0$
    3. 配方法
    Last modification:July 3rd, 2020 at 11:19 pm
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